铝合金板式节点单层球面网壳的自振特性研究

铝合金单层网壳受力合理、造型美观、施工方便，是常见的空间结构形式之一。目前我国已建成上海马戏城、上海科技馆、辰山植物园、中国五项赛事游泳击剑馆等[1-2]多座铝合金单层网壳。

板式节点是铝合金单层网壳最为常见的节点型式，国内外对其进行了深入研究。2014年，郭小农等[3-9]进行了铝合金板式节点的试验研究，总结了板式节点变形机理，提出了节点弯曲刚度的四折线模型。2015年，Xu等[10]研究了铝合金板式节点平面外受弯的滞回性能，指出其滞回曲线稳定但是不够饱满。2017年，Liu等[11]研究了节点刚度对铝合金板式节点网壳静力稳定性能的影响，指出铝合金板式节点的半刚性会降低网壳结构的整体稳定承载力。

然而，以上研究均针对于板式节点网壳的静力特性，对于板式节点网壳的动力特性的研究还有所不足。郭小农等[12]采用锤击法测得某铝合金板式节点网壳的阻尼比，并建议取值为3.3%；此外，鲜有文献对铝合金板式节点网壳的动力特性进行研究。

针对上述研究不足，本文建立了铝合金板式节点网壳的数值分析模型，研究了矢跨比、跨度、屋面荷载、跨厚比、网格密度、约束条件等参数对单层球面网壳结构动力性能的影响，并提出了铝合金板式节点单层球面网壳自振基频的估算公式。

1 不考虑节点刚度影响时网壳的自振特性分析

1.1 数值分析模型

本节首先分析不考虑节点刚度影响时单层球面网壳的自振特性。采用ANSYS建立数值分析模型，约束条件为周边三向固定铰支；杆件选用Beam188单元模拟；将屋面均布质量简化为节点处的集中质量；铝合金材料牌号为6061-T6，名义屈服应力为240 MPa，弹性模量为70 GPa；忽略屋面板对整体结构刚度的贡献；K6型网壳分析模型如图1所示。

图1 K6型单层球面网壳模型
Fig.1 K6 single-layer spherical latticed shell model

为了研究各种参数对网壳自振特性的影响，本文共建立了34 200个球面网壳数值模型。各模型的具体参数如表1所示。表中杆件均采用挤压H铝型材，其截面规格为：① H250×150×6×12 mm;② H300×150×8×12 mm;③ H350×175×10×14 mm;④ H400×200×12×14 mm;⑤ H500×200×12×16 mm。表1中网格尺寸指网壳各环主肋杆件长度。

表1 参数分析方案
Tab.1 Parameter analysis scheme

1.2 数值计算结果分析

(1) 矢跨比对网壳基频的影响

图2给出了某典型K6型网壳前30阶自振频率，图中标出了该网壳的具体参数。图3列出了矢跨比为1/3的K6型网壳前3阶振型，图4给出了矢跨比为1/7的K6型网壳前3阶振型。从图3可以看出，矢跨比为1/3时，前3阶振型均为水平方向变形较大的反对称振型。从图4可以看出，当矢跨比为1/7时，第1阶振型和第2阶振型均为竖向变形较大的反对称振型，第3阶振型为竖向变形为主的对称振型。

图2 不同矢跨比网壳的频率分布
Fig.2 Frequency of different rise-span ratio shells

图3 矢跨比1/3的网壳前3阶振型图
Fig.3 Vibration modes of shells with rise-span ratio 1/3

图4 矢跨比1/7的网壳前3阶振型图
Fig.4 Vibration modes of shells with rise-span ratio 1/7

图5给出了K6型网壳基频随矢跨比的变化曲线，从图5可以看出，网壳基频先随着矢跨比增大而增大，然后随着矢跨比增大而减小。在一定范围内存在一个使得基频最大的最佳矢跨比，最佳矢跨比约为1/4。显然，结构的基频取决于其刚度分布和质量分布。当矢跨比较大时(1/2～1/4)，第1振型的水平方向变形较大；而随着矢跨比的减小，结构水平刚度有所增加，因此基频有所加大。当矢跨比较小时(1/5～1/16)，第1振型的竖向变形较大；而随着矢跨比的减小，结构竖向刚度有所减小，因此，基频有所减小。

图5 基频随矢跨比变化趋势图
Fig.5 Fundamental frequency vs rise-span ratio

(2)跨度对网壳基频的影响

图6给出了各种矢跨比下网壳基频随跨度的变化情况。从图6可以看到，随着跨度的增加，网壳基频随之减小，并渐渐趋于平缓。这说明跨度的增加使得网壳结构总体刚度减小，且逐渐趋于平缓。跨度的增加并不改变第1阶振型主方向，也即跨度的增加会使得球面网壳在竖向和水平向两个方向的结构刚度都减小。

(a)K6

(b)K8
图6 基频随跨度变化趋势图
Fig.6 Fundamental frequency vs span

(3)屋面荷载对网壳基频的影响

在实际工程中，网壳结构的屋面荷载主要通过檩条传到节点上，所以可按照静力等效原则将节点所辖区域内的荷载，等效为集中质量加在节点上。图7给出了跨度L=60 m，各种矢跨比的网壳基频随屋面荷载的变化情况。从图7中可以看到，网壳的各阶频率都随着屋面荷载的增大而减小，这是因为增大荷载相当于增大质量，而结构刚度没有发生较大变化，故而屋面质量越大，网壳自振频率越小。

(4)跨厚比对网壳基频的影响

杆件截面同样会影响网壳结构的整体刚度，从而影响网壳自振频率。本文采用无量纲参数β来表示跨厚比，设球面网壳沿着大圆的弧长为s，杆件截面绕强轴的回转半径为ix，则无量纲化的跨厚比为β=s/ix；根据工程实际情况，β的值通常在200～800。

图8给出了跨度L=60 m，矢跨比为1/3，竖向永久荷载为1.2 kN/m2的网壳基频随跨厚比的变化情况。

(a)K6

(b)K8
图7 基频随屋面荷载变化趋势图
Fig.7 Fundamental frequency vs roof load

从图8中可以看到，网壳的各阶频率都是随着跨厚比的增大而减小，这是因为跨厚比越大，杆件相对截面越小，减小杆件截面相当于减小刚度矩阵，而结构质量矩阵没有发生较大变化，故而壳面外整体振动时，屋面刚度越小，网壳自振频率越小。

图8 基频随跨厚比变化趋势图
Fig.8 Fundamental frequency vs span-thickness ratio

(5)网格密度对网壳基频的影响

网格密度同样会影响网壳结构的整体刚度，从而影响网壳自振频率。网格密度可采用无量纲参数λ来表达：设球面网壳主肋的杆件长度为l;杆件截面绕强轴的回转半径为ix;则无量纲化的网格密度为λ=l/ix。λ越大，则代表网格密度越稀疏，反之则代表网格密度越密集。

图9给出了跨度L=60 m，矢跨比为1/3，竖向荷载为1.2 kN/m2，杆件截面为②类的网壳基频随λ的变化情况。从图9可以看到，网壳的各阶频率都是随着λ的增大而减小，这是因为增大λ相当于增大网格尺寸，从而减小网壳刚度，因此网壳自振频率越小。

图9 基频随杆件长细比变化趋势图
Fig.9 Fundamental frequency vs slenderness ratio

(6)边界支承条件对网壳基频的影响

为了研究边界条件对K6和K8型铝合金板式节点网壳自振特性的影响，对周边节点铰接和周边节点固接网壳进行分析。选取跨度L=60 m，竖向永久荷载为1.2 kN/m2，杆件截面为②类，周边节点铰接和周边节点固接网壳，分别对其进行自振特性分析。不同支承条件下球面网壳基频的变化情况如图10。总体看来，两类网壳的基频基本一致，表明两种支承条件的差异并没有起到主要控制作用，两者差异不大。

2 不考虑节点刚度影响时网壳基频估算公式

《空间网格结构技术规程》[13]和《建筑结构荷载规范》[14]对单层球面网壳自振频率还没有相应规定。基于此，本节以凯威特K6和K8型单层球面网壳结构为例，分析单层球面网壳结构自振特性随网壳跨度、矢跨比、屋面荷载、跨厚比、网格密度等的变化规律，总结出设计中实用的估算公式，从而极大地简化网壳结构基频的求解方法。

(a)K6

(b)K8
图10 基频随边界条件变化趋势图
Fig.10 Fundamental frequency vs boundary conditions

根据连续化壳体自振频率特性[15]，本文提出铝合金板式节点网壳自振频率公式估算公式，如式(1)所示

(1)

式中:f1为第1阶自振频率;L为球面网壳跨度;M为屋面等效均布质量(包括屋面荷载与网壳自重);λ为网格密度无量纲化参数;β为跨厚比无量纲化参数;E为铝合金的弹性模量，MPa;a,b,c,d,k均为待拟合参数。

在前文参数分析的基础上，共计算了34 200个无缺陷刚接节点网壳算例，并在此基础上拟合式(1)中的系数。K6型和K8型网壳基频待定系数拟合结果分别如表2和表3所示。

表2 K6型网壳基频待定系数拟合表
Tab.2 Values offundamental frequency coefficients of K6 shells

从表2和表3可以看到，待定系数a,b,c的离散性非常小，且K6和K8型网壳的各均值也相当接近，故统一取表2和表3中的均值，结果见表2或表3。而k和d随矢跨比的变化较大，可采用三次多项式进行拟合如下：

对于K6型网壳

(2)

表3 K8型网壳基频待定系数拟合表
Tab.3 Values of fundamental frequency coefficients of K8 shells

(3)

对于K8型网壳

(4)

(5)

图11给出了单层球面网壳基频估算公式与有限元计算结果的误差分布，横坐标表示误差δ百分比的区间，纵轴表示该处在误差区间内的网壳数量n占总数量N的百分比。从图11中可以看出，批量计算的34 200个网壳基频估算的误差均不超过10%，绝大多数网壳基频误差均在5%以内，说明本文提出的估算公式能够较高精度地估算K6型和K8型网壳的基频。

(a)K6

(b)K8
图11 误差分布图
Fig.11 Error distribution

工程设计中，可初步选定合适的矢跨比，根据式(2)～式(5)算出对应的系数k,d，在表2或者表3中取对应的系数均值a,b,c，最后根据式(1)估算出网壳的第1阶自振频率。

3 考虑节点刚度影响的网壳自振频率

节点刚度通常会对网壳结构的自振频率产生较大影响。郭小农等对铝合金板式节点的刚度进行了较为深入的研究，提出了铝合金板式节点的四折线模型如图12所示。从图12可以看出，铝合金板式节点的刚度模型分为嵌固阶段、螺栓滑移阶段、孔壁承压阶段、失效阶段等4个阶段。由于板式节点的圆盘盖板的尺寸较大，在螺栓滑移之前，节点域的实际转动刚度大于杆件截面抗弯刚度，节点表现出一定的超刚性特性。

图12 节点弯曲刚度四折线模型
Fig.12 Four-line model of bending stiffness of joint

在小震作用下，节点域的螺栓通常不会出现滑移，节点刚度大于杆件截面抗弯刚度，因此结构基础频率会有所加大，从而地震响应也会有所放大。因此，有必要考虑节点刚度对网壳自振频率的影响。本文拟采用基频放大系数η来考虑小震下节点超刚性的影响。

实际工程中，铝合金板式节点的节点板厚度通常等于杆件翼缘厚度，而节点板半径根据杆件截面尺寸进行设计，图13给出了根据杆件截面①～截面⑤按等强原则设计出的典型节点。表4列出了这些节点的几何参数及其初始刚度值，其中初始刚度根据郭小农等的公式计算得到。

建立考虑节点刚度影响的网壳数值模型，模型由刚性节点域、非线性刚度弹簧和杆件组成。节点域采用Beam 188单元模拟，其弹性模量设置为无穷大；弹簧采用了ANSYS中的Combin 39单元模拟；杆件部分采用Beam 188单元模拟。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)
图13 典型节点
Fig.13 Typical joints

表4 典型节点相关参数
Tab.4 Parameters of typical joints

对前文的34 200个网壳进行了分析，得到了其自振频率。显然，影响基频放大系数η的最重要参数是杆件节间长度l和节点板半径R之比。图14给出了34 200个网壳的基频放大系数η随l/R的变化情况，图中横轴为l/R，纵轴为基频放大系数η。实际工程中，通常并非所有杆件的长度都一样，由于网壳刚度贡献最大的杆件是主肋，因此图14中的l/R是指主肋的节间长度和节点板半径。

图14 基频放大系数η分布
Fig.14 Distribution of amplification coefficient η

从图14可以看出，基频放大系数分布在一定宽度的带状范围内，取值1.02～1.14，且随着l/R的增大而减小。由于在计算地震响应时，结构频率越大，地震响应越大。因此可以偏安全的取图14中的数据点上限进行拟合，得到公式为

η=1.011+0.652/(l/R)+5.610/(l/R)2

(6)

式中:l为指主肋的节间长度;R为主肋杆件的节点板半径。

4 自振频率估算公式的验证

为验证本文公式的正确性，郭小农等采用锤击法对某铝合金网壳的自振频率进行了实测。图15给出了测试用铝合金网壳。图16给出了该网壳的节点详图。根据郭小农等的研究可知，该网壳的实测基频为17 Hz，数值验证模型的基频为16.375 Hz。下面通过该网壳对本文的拟合公式进行验证。

图15 测试用铝合金网壳
Fig.15 The aluminum alloy latticed shell used for the test

图16 测试用网壳的节点详图
Fig.16 Aluminum alloy gusset joints

根据《建筑结构荷载规范》(GB 50009—2012)可得已知条件为：

网壳型式 K6

网壳跨度 L=8 m

网壳矢高 f=0.5 m

网壳矢跨比 f/L=1/16

网壳等效均布质量(含自重) M=41.2 kg/m2

网壳杆件截面 H100×50×4×5 mm

网壳杆件弹性模量 E=65 364 MPa

网壳主肋弧长 s=8 080 mm

网壳主肋杆件节间长度 l=808 mm

网壳主肋的节点板半径 R=100 mm

杆件截面回转半径 ix=39.94 mm

不考虑节点刚度影响的基频计算：

网格密度无量纲参数 λ=l/ix=20.23

跨厚比无量纲参数 β=s/ix=202.3

根据式(2)可得计算参数k6 k6=19 342

根据式(3)可得计算参数d6 d6=-0.378

根据表2可查得计算参数a6 a6=-0.738

根据表2可查得计算参数b6 b6=-0.512

根据表2可查得计算参数c6 c6=-0.502

将以上各参数代入式(1)可得f1=17.78 Hz

考虑节点刚度影响的基频计算：

网壳主肋杆件的l/R l/R=8.0

根据式(6)可得频率放大系数 η=1.18>1.14，取1.14

考虑节点刚度影响的网壳基频 f1=17.78×1.14=20.27 Hz

从上述计算过程可知：该网壳模型的实测基频为17 Hz，数值模型基频为16.375 Hz。当不考虑节点刚度影响时，根据本文拟合公式计算得到的基频为17.78 Hz，和实测值相差4.5%，具有较高精度。当考虑节点刚度影响时，根据本文公式计算得到的基频为20.27 Hz，比实测值大19.2%。分析认为可能有如下原因：①拟合式(6)时采用了上限值，当l/R=8.0时，根据式(6)计算得影响系数η=1.14，然而根据试验网壳的考虑节点刚度的数值模型计算结果，影响系数η=1.05；②受到测量手段与测量仪器精度的限制；③试验网壳为人工安装，螺栓预紧力不足。

5 结 论

本文通过对凯威特K6型和K8型单层球面网壳的大规模的参数分析，得出了以下结论：

(1)跨度、屋面荷载、跨厚比、网格密度是影响单层球面网壳基频的主要因素。矢跨比是影响单层球面网壳基频的关键因素，矢跨比较大的网壳低阶振型以水平方向居多，矢跨比较小的网壳以竖向振型居多，在一定范围内存在一个使得基频最大的矢跨比。

(2)不考虑节点刚度影响时，铝合金板式节点网壳的基频可采用式(1)进行估算。通过和数值分析结果以及试验结果的对比表明，拟合式(1)具有较高的精度。

(3)当考虑板式节点刚度影响时，网壳的基频会有所提高，其提高系数可采用偏于安全的式(6)进行估算。